Арифметика з камінчинками або Наочно про властивості математичних дій

Бесіди з дорослими і дітьми: множення і ділення, кратність чисел

Початок циклу бесід читайте тут

 Напевно, Ви вже помітили, що я розповідаю не про те, як навчити дітей швидко і вправно рахувати (в решті решт для цього можна використовувати калькулятор, хоч вміння обчислювати усно часто буває дуже потрібним у повсякденному житті), не як «натаскати» дітей на знання таблиць множення і ділення тощо, а про те, як відкрити з дітьми взаємозв’язки чисел і математичних дій, зрозуміти зміст законів і правил, зрозуміти чому вони саме такі, а не інші, при яких умовах виконуються, а при яких — ні, чому так трапляється. Адже знаючи, глибоко розуміючи такі закономірності завжди можна обчислити значення виразів, оцінити яким буде результат, перевірити його правильність.

І це набагато важливіше чистих вмінь і навичок: без постійних вправлянь вони можуть забутися, а от розуміння основних закономірностей допоможе в обчисленнях, стане поштовхом до самостійного висування власних ідей, і, можливо, здійснення справжніх відкриттів. Чому б і ні!?. Тож, якщо вибирати між знаннями, вміннями і навичками, голосую за знання. Якщо знання будуть глибокими, людина не лякатиметься самостійно міркувати, доводити власну думку, слухатиме інших, то вміння і навички у потрібний момент нікуди не подінуться. Сподіваюсь, що так міркує і більшість моїх читачів.

Сьогодні ми поговоримо про те, як прямокутники з камінчиків допоможуть ознайомити дітей з множенням і діленням та їх властивостями.

Надихнула мене на цю бесіду, як і на попередні, чудова книжка прекрасного педагога Стівена Строгаца «Можно ли получить удовольствие {от} х? Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире»

Множення

Перейдемо до безпосереднього вивчення множення чисел. Іноді доводиться додавати кілька разів одне й те саме число: 2 + 2 + 2 + 2 + 2. У такому випадку запис виразу виходить громіздким і можна помилитись. Легше записати те саме, використовуючи множення: 2 · 5. Подивіться наскільки зручнішим вийшов запис!

Тож, скільки буде 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = ?

Згадаймо про те, як ми камінчиками викладали числа. Кожну двійку викладемо стовпчиком з двох камінчиків, стовпчик біля стовпчика… і так п’ять разів (п’ять двійок). (Так ми не заплутаємося.) Щоразу додаємо камінчики, додаємо числа (дія «додавання»). Склали прямокутник: одна сторона 2 камінчики, друга — 5. Загальна кількість камінчиків дорівнює результату додавання. Скільки всього камінчиків?

Скорочено запис виразу на додавання —  2 · 5. А тепер уважно подивіться на прямокутник: знайшли де число «2», а де — «5»? Сподіваюсь, і результат знаєте як порахувати.

Ділення

А тепер обчислимо вираз з дією «ділення», використовуючи прямокутник з камінчиків. Як це можна зробити? Як не виконуючи ділення можна швидко отримати результат? Для цього вам потрібно тільки пригадати, що ділення — обернена дія до множення.

— Уважно роздивіться прямокутник 2 х 5. Скільки буде 10 : 2? 10 : 5?

— Чи можна отримати 10 множенням числа «3»? множенням числа «4»?

Переставний і сполучний закони

Камінчики допомагають нам проілюструвати і зрозуміти переставний закон і правила обчислення з дужками. (Будь ласка, будьте уважними зі словами: не довести, а проілюструвати. Але це теж немало!) Так, a + b = b + a. Нехай a = 4 (чотири камінчики), b = 2 (два камінчики). Викладемо 4 камінчики, додамо до них ще 3. Вийде 7 камінчиків. А тепер навпаки: викладемо 3 камінчики, додамо до них ще 4 камінчики. Знову вийде 7 камінчиків.

Якщо ми змінимо значення змінних a і b, все одно вийде те саме. Отже, від перестановки доданків їх сума не змінюється.

Так само ілюструємо і сполучний закон додавання (a + b) + c = a + (b + c)

— Поміркуйте, як прямокутник з камінчиків може допомогти зрозуміти, що 2 · 5 = 5 · 2?

Перший спосіб. Множення можна представити як додавання, тому ілюстрація переставного і сполучного законів множення, а також правил обчислення виразів зі скобками може бути такою ж як і законів додавання.

Другий спосіб. Пригадуємо, як за допомогою прямокутників ми викладали вирази на множення. Викладаємо два прямокутники з камінчиків 2 х 5 (відповідає 2 · 5) і 5 х 2 (відповідає 5 · 2). Порівняймо ці прямокутники: їм відповідає одне й те саме число. Тож з точки зору представлення чисел прямокутники однакові, тільки повернуті на 90 градусів один відносно одного.

Тож, a · b = b · a.

Кратність чисел

А тепер від камінчиків перейдемо до чисел.

— Як дізнатися не обчислюючи, які числа можна поділити без остачі на задані числа, а які — ні?

— Які числа можна розділити на 2 без остачі?

— На які цифри закінчуватимуться такі числа?

Парні числа (ті, що можна поділити без остачі на 2) обов’язково закінчуються на 0 або на парне число (2, 4, 6, 8). Чому? (Для того, щоб відповісти на це запитання варто пригадати, як часто трапляються нам парні числа, як ми їх представляли прямокутниками зі стороною 2 камінчики.)

— Як камінчики можуть допомогти нам дізнатися, чи ділиться задане число на 4, 3, 5 тощо? (З камінчиків, які відповідають заданому числу, потрібно спробувати скласти прямокутник, одна сторона якого дорівнюватиме кількості камінчиків, які відповідають дільнику. Якщо це вдалося, задане число можна поділити на дільник.)

Так, числу «6» відповідає прямокутник 2 х 3 камінчики. Тож, число «6» можна поділити без остачі на 2 і на 3.

Числу «9» відповідає прямокутник 3 х 3. Тож, число «9» можна поділити без остачі на 3.

З семи камінчиків неможливо скласти жодного прямокутника. Число «7» називають простим. Воно не має дільників. Які ще прості числа ви знаєте? Дослідіть, як часто вони трапляються.

У наступній статті читайте як просто і дотепно розповісти про квадрат числа і квадратний корінь.

Іноді ми не помічаємо математику навколо себе, але ж без неї обійтися досить важко, а іноді й неможливо. Разом з нами математика живе у наших домівках. Знайдемо її там! Зазирнемо на кухню. Читайте бесіду з дорослими і дітьми про математику навколо за посиланням

Ірина СТЕЦЕНКО,

науковий співробітник Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем Національної академії наук України

та Міністерства освіти і науки України,

автор технології «Логіки світу»

для дітей від 4 до 12 років

Дізнайтеся про що блог

Читайте роздуми щодо теми блогу

Автор: Ірина Стеценко