субота, 8 лютого 2014 р.

Дослідження по-дорослому (продовження)


Сходинки маленького дослідника: зіставляємо креслення з реальними об’єктами


Початок статті про дослідження читайте за посиланням

Тема малювання просторових геометричних фігур — багатогранна. Минулого разу ми почали дослідження про те, як передати форму просторових геометричних фігур за допомогою площинного зображення. В результаті зрозуміли, що це можуть зробити або художники, або інженери.

Художники за допомогою ізометричного зображення та правильного відтворення світла і тіні на малюнках створюють об’єм. Малюнки виходять схожими на оригінал, допомагають уявити як предмет виглядає насправді, але розглянути його з усіх боків неможливо. Тому ймовірніше ми не побачимо якісь суттєві особливості предмета і уявимо його форму неправильно, а відтак при потребі не можемо його правильно відтворити. Це не завжди суттєво, але ми маємо пам’ятати про це, вибираючи спосіб зображення предмета відповідно певній ситуації.

Інженери передають форму просторових об’єктів трьома проекціями (вид спереду, зверху, збоку). Зображення, що виходить, «прочитати» (уявити та відтворити предмет) може тільки той, хто знає яким чином зображення накреслено, вміє зіставляти креслення з реальним об’єктом. Проте за трьома проекціями можна правильно відтворити реальний об’єкт. Саме так діють будівельники, споруджуючи за кресленнями архітекторів, токарі, користуючись кресленнями інженерів під час виготовлення різних деталей та інші.

Форма реальних предметів може бути дуже різною, тому при кресленні треба враховувати особливості форми об’єктів, щоб люди не помилилися під час використання нашого креслення. На що насамперед треба звертати увагу розглянемо у цій статті.


Задача 10

Песик придумав і намалював об’ємну фігуру. Чи існує намальована об’ємна фігура? Спробуй її побудувати.
Якщо песик помилився, виправи його помилки. Придумай кілька варіантів розв’язання задачі.


Мета дослідження: визначити існує чи не існує фігура, задана трьома проекціями в умові завдання. Тобто якщо креслення правильне, ми можемо побудувати з кубиків об’ємну фігуру із заданими проекціями.
Результат дослідження: якщо креслення правильне, результат — це побудована фігура; якщо у кресленні є помилка, результат — виправлене креслення і побудована за ним об’ємна фігура.
Звичайно, ми не гадатимемо правильне чи ні креслення задано в умові завдання. Спробуємо побудувати об’ємну фігуру за кресленням. На кресленні ми бачимо, що на всіх проекціях намальовані лише квадрати. Таке може бути тільки, якщо об’ємна фігура складатиметься лише з кубиків.


Почнемо будувати об’ємну фігуру. Як і у багатьох задачах технології «Логіки світу», існує кілька варіантів вирішення цієї проблеми. Розпочну конструювання, орієнтуючись на вигляд спереду. Можна починати побудову з будь-якої проекції і, можливо, від цього залежатиме результат розв’язку. Такий вигляд спереду, як в умові задачі, має фігура, яка складається з трьох кубиків, розміщених один над одним. Вигляд збоку такої піраміди збігається з кресленням в умові задачі, але вигляд зверху буде іншим. Таким чином, перша гіпотеза дослідження — за кресленням неможливо побудувати об’ємну фігуру, виправлене креслення наведено на малюнку.
В принципі, якщо малюнок неправильний, немає значення з якої саме проекції ми починали будувати об’ємну фігуру: все одно ми не зможемо її побудувати за таким кресленням. Але ж нам потрібно не тільки знайти, а і виправити помилку. А зробити це можна різними способами. Отже наступні гіпотези відрізнятимуться способами виправлення помилки в кресленні. З іншого боку, для дітей це буде ще одним (зовсім не зайвим) підтвердженням першого твердження висунутої вище гіпотези.
У першій гіпотезі ми вважали правильними вигляди спереду і збоку. Друга гіпотеза орієнтуватиметься на вигляд зверху. Якщо вигляд зверху правильний, то об’ємна фігура виглядатиме, як на наступному малюнку. В цьому випадку неправильний вигляд збоку. Креслення об’ємних фігур, виправлених за другою, третьою та четвертою гіпотезами наведено на малюнку нижче.
Ми закінчили висувати гіпотези. Паралельно з висуванням гіпотез ми будували об’ємні фігури, розглядали їх з усіх боків, виправляли помилки на кресленні. Таким чином кожна гіпотеза пройшла експериментальну перевірку і є правильною.


Отже правильних гіпотез у нас чотири. Як визначити яка з них найкраща? У цьому нам допоможе правило «бритва Оккама». Ми пам’ятаємо, що наше завдання лише виправлення помилок у кресленні (ми довели, що вони є), а не малювання креслення заново. Тому за найкращою гіпотезою ми маємо вносити якомога менше змін у креслення, наведеного в умові задачі. Такими є гіпотези перша і третя. Яким з них надати перевагу? Це залежить від інших критеріїв, але вони не настільки важливі, щоб їх обговорювати зараз. Кожен може визначити їх самостійно.

Малюки розв’язували багато задач про об’ємні фігури. Вони конструювали їх за кресленнями, навчалися самостійно зображувати об’ємні фігури за допомогою трьох проекцій, знаходили помилки на кресленнях, рахували за кресленнями скільки кубиків необхідно підготувати для будування об’ємних фігур. Досі для зображення будь-якої об’ємної фігури нам вистачало знань. Усі лінії на кресленнях були однаковими і ми завжди точно знали місце кожного кубика в об’ємній фігурі. Тобто кожну об’ємну фігуру ми могли однозначно побудувати за кресленням. А чи завжди так відбуватиметься? Наведу контрприклад і ми разом з дітьми досліджуватимемо його.

Задача 11




Мета дослідження: побудувати об’ємну фігуру за наведеним кресленням, визначити чи можна однозначно її побудувати.
Результатом дослідження має стати відповідь на запитання про можливість однозначної побудови об’ємної фігури за кресленням. Якщо об’ємну фігуру побудувати однозначно не вийде, необхідно знайти і спробувати виправити помилку. Звичайно, знайти помилку діти зможуть, найвірогідніше, вкажуть вони і причину її появи, а от виправити помилку малята зможуть тільки з допомогою педагога.
Взагалі, мета цієї задачі для педагога: наочно показати дітям необхідність малювання на кресленнях «невидимих» ліній.
Розглянемо креслення уважно і визначимо, з яких частин складається об’ємна фігура. Одразу видно, що об’ємна фігура побудована з кубиків і книжки або дощечки. (На початку розв’язування задач цього типу ми домовилися, що до складу конструктора, крім кубиків, входитимуть і книжки: дощечки не завжди наявні у звичайних конструкторах.)
Спочатку здається, що тепер залишається тільки взяти кубики і книжку та побудувати з них об’ємну фігуру. Але ж ми зовсім забули: якщо поставити кілька кубиків ланцюжком один за одним, їх проекцією буде квадрат (видно тільки грань першого кубика, решти кубиків не видно зовсім).


Тож повернімося до запитання: скільки кубиків необхідно взяти? Принаймні їх два: грані саме двох кубиків чітко видно на проекціях спереду і збоку. Як вони розташовані? Очевидно, кубики знаходяться під книжкою: саме на них вона і тримається. Кубики не можуть стояти в кутах однієї із сторін книжки: вона так впаде. Експеримент показує (у цьому дослідженні саме експеримент допомагає нам висувати гіпотези), що кубики можна розмістити по діагоналях книжки. Можна вибрати будь-яку діагональ: креслення не зміниться. Перша гіпотеза: кубиків два, вони розміщені по діагоналі книжки.
Після цього обговорення видно: гіпотези відрізнятимуться одна від одної кількістю кубиків, з яких складається об’ємна фігура, і їх розміщенням відносно кутів книжки.
Як змінити креслення об’ємної фігури, щоб відобразити розміщення кубиків? Потрібно змінити вигляд зверху, інші проекції намальовані правильно. Як показати на кресленні, як саме розміщені кубики, адже вони знаходяться під книжкою і зверху їх не видно?
Існує тільки один спосіб — потрібно намалювати «невидимі» кубики на вигляді зверху, а щоб підкреслити, що кубики накриті книгою, їх зверху не видно, проекції кубиків малюють пунктирними лініями, такі лінії ще називають «невидимими». Тепер вже точно відомо скільки кубиків під книгою і як вони там розташовані.
Зверніть увагу: тільки дві сторони кожного квадратика (вигляд кубика зверху) намальовані пунктирною лінією, ще дві сторони збігаються із сторонами прямокутника (вигляд книжки зверху). Книжку зверху видно повністю, тому всі сторони прямокутника намальовані, як завжди, суцільною лінією.
Але ж це не єдине розміщення кубиків. Далі наведено всі гіпотези розміщення кубиків, які мені вдалося знайти.


Таким чином, кубики можна розмістити трьома способами: вигляди спереду і збоку від цього не зміняться. Отже, головної мети дослідження ми досягли: діти зрозуміли необхідність введення «невидимих» ліній і навчилися їх використовувати на кресленнях.

У наступній статті розглянемо дослідження під час розв’язання задачі з комбінаторики.


науковий співробітник Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем Національної академії наук України
та Міністерства освіти і науки України,
автор технології «Логіки світу»
для дітей від 4 до 12 років



Автор: Ірина Стеценко