неділя, 3 серпня 2014 р.

Дивна пляшка

Несподівана математика


У математиці є багато об’єктів з дивовижним властивостями. Якісь з них знайшли використання у повсякденному житті, якісь — ще ні, але ж все можливо… У попередній статті ми досліджували лист Мьобіуса, сьогодні ознайомимось з подібним геометричним об’єктом вже у просторі пляшкою Клейна. Якщо лист Мьобіуса є односторонньою площиною, то пляшка Клейна — одностороння поверхня. На відміну від кулі, комаха, яка лізе по поверхні пляшки Клейна, може потрапити із зовнішнього боку на внутрішній, не проходячи крізь поверхню.



Мрія середньовічного алхіміка — мати досконалу герметичну посудину, де зовнішнє переходить у внутрішнє і внутрішнє в зовнішнє, яка містить сама себе і переходить сама у себе, у якої внутрішнє і зовнішнє єдине... Все це чимось нагадує змію, яка згорнулась у кільце і заковтнула свій власний хвіст...
Саме таким є дивовижний об’єкт — як пляшка Клейна, яка вражає своєю незвичністю!



Пляшка Клейна вперше була описана 1882 р. німецьким математиком Феліксом Клейном. У ній нерозрізнювані внутрішня та зовнішня поверхні.
На відміну від звичайної пляшки, у цього об’єкта немає «краю», де б поверхня закінчувалася. На відміну від кулі, можна пройти шлях з середини назовні, не перетинаючи поверхню (тобто насправді у цього об’єкта немає «всередині» і немає «зовні»).



Раз моряки, погожим днем
Пустились по морю втроем.
Но не в тазу — была у них
Бутылка Клейна на троих.
Три моряка в бутылку сели
В ней не страшны ни шторм, ни мели.
Но оказалось им на горе
И судно в море, и в судне море.
                                   Фредерик Уинзор
Пляшку Клейна можна отримати в результаті склеювання двох стрічок Мьобіуса по краях. У звичайному тривимірному просторі зробити це, не утворюючи самоперетину, неможливо. Тому справжня пляшка Клейна існує тільки у чотиривимірному просторі!



Подорож того ж мурашки поверхнею пляшки Клейна теж перетвориться на нескінченність! Йому не доведеться переходити із зовнішнього боку на внутрішню — він єдиний! І це буде справедливо і для теоретичної, і для реальної пляшки Клейна.
Якщо розрізати пляшку уздовж вертикальної осі симетрії, то ми отримаємо дві стрічки Мьобіуса.
Цікаво, що за допомогою одного замкненого розрізу пляшку Клейна можна перетворити лише в один лист Мьобіуса!



Пляшці Клейна присвячений один з жартівливих лимериків Джеймса Ліндона:
Некто Клейн, не любивший вина,
Раз придумал бутылку без дна.
Восклицал он: «К тому же
Что внутри — в ней снаружи!
Даже пробка совсем не нужна!»

Зазирнути до магазину скляних пляшок Клейна можна за посиланням
Подивіться фільм про подорож всередині пляшки Клейна



науковий співробітник Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем Національної академії наук України
та Міністерства освіти і науки України,
автор технології «Логіки світу»
для дітей від 4 до 12 років



Автор: Ірина Стеценко