Загадкова стрічка Мебіуса

Несподівана математика

З чого починаються великі відкриття? З подиву, з чогось цікавого, дивного і незрозумілого… А ще вони починаються з маленьких відкриттів, які діти роблять щодня. Коли ми бачимо щось дивовижне, то хочеться одразу дізнатися про це якомога більше. Несподіванки можна побачити щодня, треба лише вміти побачити і зрозуміло пояснити дітям.

Пояснення мають бути не «іграшковими», а науковими (саме так!), бо дошкільнята і маленькі школярі — справжні дослідники, науковці-початківці. Звісно, зараз ми відкриємо не всі таємниці природи: у малят не вистачить знань законів природи, щоб зрозуміти все до кінця. Поступово знання дітей стануть більш глибокими і наші пояснення вже відомих фактів стануть детальнішими, але у жодному разі вони не суперечитимуть попереднім поясненням.

А зараз ми маємо зацікавити дитину-дослідника, щоб вона не розучилася дивуватися, спостерігати, експериментувати, поступово навчалася робити висновки, аналізувати, узагальнювати.

Озирнемося з малятами навколо і знайдемо диво у звичайному. Як? Про це мої публікації. Отже, зробимо разом з дітьми перший крок до майбутніх відкриттів.

Дивовижна поверхня

Ми змалку звикли, що всі поверхні мають дві сторони. У звичайнісінького листочка на дереві одна сторона може бути темно-зеленою, інша — світло-зеленою, майже білою. На одній стороні аркуша в книжці може бути текст, а зате на другій — яскравий малюнок. Якщо одну сторону аркуша звичайного паперу ми зафарбуємо червоним кольором, тоді друга його сторона залишиться білою, і ніщо нам не заважатиме потім розфарбувати її на свій смак.

Візьмемо довгу смужку паперу і склеїмо з неї кільце. «Нічого незвичайного!» — скажете ви. Та й, справді, — звичайне кільце. Одну його сторону, наприклад, зовнішню, можна розфарбувати червоним кольором, а другу — зеленим. Все як завжди. Якщо комашка буде повзти по червоній стороні кільця, то, щоб опинитися на зеленій, їй неодмінно доведеться перелізти через край кільця.

Є кільце — стрічка Мебіуса, іноді її називають смужкою Мебіуса (і кожен може легко і швидко його зробити!), для якого все вже написано, — неправда. Стрічка  Мебіуса має лише одну сторону та один край. 

Уперше її винайшов німецький математик Август Фердинанд Мебіус, 1858 р. А наштовхнув його на таке відкриття, мабуть, цікаво зав’язаний шарфик його домоправительки, а, можливо, неправильно зшита служницею стрічка.

Август Фердинанд Мебіус (1790–1868 рр.) — німецький математик та астроном-теоретик.

1813–1814 рр. Мебіус був учнем «короля математиків» К. Гаусса. З 1816 р. почав вести самостійні астрономічні спостереження у Плейсенбурзькій обсерваторії, 1818 р. став її директором, згодом — професором Лейпцигського університету.

Щоб зробити стрічку Мебіуса, слід взяти таку саму смужку паперу як та, з якої ми робили кільце. Склеїти її треба так: кут, позначений літерою А, склеїти з кутом на протилежній стороні, що позначений літерою С; кут, позначений літерою В, склеїти з кутом на протилежному боці, позначеним літерою D.

Спробуємо розфарбувати її як кільце. Та нічого не виходить: стрічку Мебіуса неможливо розфарбувати різними кольорами, тому вчені кажуть, що вона має лише одну сторону. Всю стрічку можна розфарбувати тільки одним кольором. А потрапити з однієї точки поверхні листа у будь-яку іншу можна не перетинаючи краю.

Уявіть, що дві комашки подорожують стрічкою Мебіуса назустріч одна одній. Де вони зустрінуться?

У звичайного кільця два краї, їх можна розфарбувати різними кольорами. А тепер спробуйте розфарбувати не всю стрічку Мебіуса, а лише її край (так само, як у звичайного кільця). Що вийшло? Скільки країв у стрічки Мебіуса?

Фокуси зі стрічкою Мебіуса

Зі стрічкою Мебіуса можна показувати цікаві фокуси.

Фокус 1

Виріжте дві такі самі смужки паперу, як для стрічки Мебіуса. Склейте з них кільце і стрічку Мебіуса.

Ножицями акуратно розріжте стрічку Мебіуса і кільце вздовж на дві рівні частини. Різати слід уздовж намальованої лінії. Що цікавого вийшло?

Ми отримали не два стрічки Мебіуса, як, напевно, сподівалися, а одне довге кільце, перекручене удвічі. А тепер спробуйте кільце, яке отримали, розрізати ще раз так само уздовж, на дві частини.

Фокус 2

Спробуйте розрізати стрічку Мебіуса, відступивши від краю приблизно на третину її ширини. Здається, вийде таке саме кільце, як у першому фокусі. Перевірте це. Обіцяю: відповідь буде дивовижною.

Фокус 3

Спробуйте розрізати стрічку Мебіуса на більше частин. Вийде цікавий результат.

Фокус 4

Досі всі стрічки Мебіуса ми робили з одним напівоборотом. Спробуйте склеїти кільця з двома і більше напівоборотами у них. Чи будуть вони такими ж за властивостями як стрічка Мебіуса? Що ми отримаємо, якщо розріжемо ці кільця навпіл?

Спробуємо «спіймати» момент перетворення двосторонньої поверхні на односторонню. Візьмемо смужку паперу, розфарбуємо її сторони різними кольорами, склеїмо стрічку Мебіуса. Уважно розглянемо її. Що сталося з кольорами? Де «зустрілися» кольори? Уявимо, що по стрічці Мебіуса рухається мурашка. Якого кольору буде її стежка?

Повторимо з цією стрічкою Мебіуса всі описані фокуси. Що нового ми побачили?

Мауріц Корнеліус Ешер

(Інші картини про математику Мауріца Корнеліуса Ешера Ви можете подивитися за посиланням.)

Стрічки Мебіуса навколо

Але стрічка Мьобіуса — не лише вправа для розуму, вона і практично застосовується. У вигляді стрічки Мебіуса роблять смужку стрічкового конвеєра, що дає змогу йому працювати довше, тому що вся поверхня стрічки рівномірно зношується. Ще застосовуються стрічки Мебіуса в системах запису на безперервну плівку (щоб подвоїти час запису), у матричних принтерах фарбувальна стрічка також мала вигляд стрічки Мебіуса для збільшення терміну придатності. Ми можемо побачити фрагменти стрічки  Мебіуса на атракціоні «Американські гірки».

Фізики-теоретики дійшли висновку, що наш Всесвіт цілком можливо замкнутий у стрічку Мебіуса згідно з теорією відносності.

Є гіпотеза, що спіраль ДНК сама собою теж є фрагментом стрічки Мебіуса і лише тому генетичний код так складений для розшифровки і сприйняття.

Рекомбинантна ДНК Мебіуса

Фізики, до речі, стверджують також, що всі оптичні закони основані на властивостях стрічки Мебіуса, зокрема відображення в зеркалі — це своєрідне перенесення в часі, короткотерміновий, що триває соті долі секунди, адже ми бачимо перед собою правильного, дзеркального свого двійника!

Міст у стилі стрічки Мебіуса (Китай)

Проєкт «Гніздо ластівки» (французьке бюро Vincent Callebaut Architectures, Тайвань)

Усмініхться!

В безмежному Інтернеті я знайшла незвичайний опис дивовижної стрічки. Це вже не дитячі іграшки! Прочитайте: можливо опис відкриє Вам ще кілька таємниць стрічки Мебіуса.

Поэтическое описание

Ты вьёшься, Лента, словно виноградная лоза,

И бесконечен поиск в тебе смысла потайного.

Ответов ради дорисую рот тебе я и глаза,

Но без толку! Самодостаточность — твоя основа.

Поверхность эту сердцу не прикажешь разлюбить!

Была б ты девкой, я женился бы, конечно.

Ты ведь способна бесконечно мне борщи варить,

Хотя трепаться по мобиле — тоже бесконечно.

Я долго думал — где у этой хрени край?

Так неожиданно попал я к Ленте в рабство.

Неужто, бесконечный поиск рая и есть рай?!

В наскучившем евклидовом пространстве

                                           Ты вьёшься, Лента, …

Ліза Рей 

Цікаво показувати фокуси? А тепер спробуйте стати справжнім фокусником: не лише показувати «чужі» фокуси, а ще й придумувати свої. Які ще загадки приховує стрічка Мьобіуса? Чекаю Ваших знахідок!

До наступних зустрічей!

Наступного разу я розповім про пляшку Клейна, «дивний» геометричний об’єкт подібний до стрічки Мьобіуса.

Ірина СТЕЦЕНКО,

науковий співробітник Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем Національної академії наук України

та Міністерства освіти і науки України,

автор технології «Логіки світу»

для дітей від 4 до 12 років

Дізнайтеся про що блог

Читайте роздуми щодо теми блогу

Автор: Ірина Стеценко