понеділок, 28 липня 2014 р.

Загадковий лист Мьобіуса

Несподівана математика


З чого починаються великі відкриття? З подиву, з чогось цікавого, дивного і незрозумілого… А ще вони починаються з маленьких відкриттів, які діти роблять щодня. Коли ми бачимо щось дивовижне, то хочеться одразу дізнатися про це якомога більше. Несподіванки можна побачити щодня, треба лише вміти побачити і зрозуміло пояснити дітям.

Пояснення мають бути не «іграшковими», а науковими (саме так!), бо дошкільнята і маленькі школярі — справжні дослідники, науковці-початківці. Звісно, зараз ми відкриємо не всі таємниці природи: у малят не вистачить знань законів природи, щоб зрозуміти все до кінця. Поступово знання дітей стануть більш глибокими і наші пояснення вже відомих фактів стануть детальнішими, але у жодному разі вони не суперечитимуть попереднім поясненням.

А зараз ми маємо зацікавити дитину-дослідника, щоб вона не розучилася дивуватися, спостерігати, експериментувати, поступово навчалася робити висновки, аналізувати, узагальнювати.

Озирнемося з малятами навколо і знайдемо диво у звичайному. Як? Про це мої публікації. Отже, зробимо разом з дітьми перший крок до майбутніх відкриттів.


Дивовижна поверхня


Ми змалку звикли, що всі поверхні мають дві сторони. У звичайнісінького листочка на дереві одна сторона може бути темно-зеленою, інша — світло-зеленою, майже білою. На одній стороні аркуша в книжці може бути текст, а зате на другій — яскравий малюнок. Якщо одну сторону аркуша звичайного паперу ми зафарбуємо червоним кольором, тоді друга його сторона залишиться білою, і ніщо нам не заважатиме потім розфарбувати її на свій смак.
Візьмемо довгу смужку паперу і склеїмо з неї кільце. «Нічого незвичайного!» — скажете ви. Та й, справді, — звичайне кільце. Одну його сторону, наприклад, зовнішню, можна розфарбувати червоним кольором, а другу — зеленим. Все як завжди. Якщо комашка буде повзти по червоній стороні кільця, то, щоб опинитися на зеленій, їй неодмінно доведеться перелізти через край кільця.
Є кільце — лист Мьобіуса, іноді його називають стрічкою Мьобіуса (і кожен може легко і швидко його зробити!), для якого все вже написано, — неправда. Лист Мьобіуса має лише одну сторону та один край





Уперше його винайшов німецький математик Август Фердинанд Мьобіус, 1858 р. А наштовхнув його на таке відкриття, мабуть, цікаво зав’язаний шарфик його домоправительки, а, можливо, неправильно зшита служницею стрічка.

Август Фердинанд Мьобіус (1790–1868 рр.) — німецький математик та астроном-теоретик.
1813–1814 рр. Мьобіус був учнем «короля математиків» К. Гаусса. З 1816 р. почав вести самостійні астрономічні спостереження у Плейсенбурзькій обсерваторії, 1818 р. став її директором, згодом — професором Лейпцигського університету.

Щоб зробити лист Мьобіуса, слід взяти таку саму смужку паперу як та, з якої ми робили кільце. Склеїти її треба так: кут, позначений літерою А, склеїти з кутом на протилежній стороні, що позначений літерою С; кут, позначений літерою В, склеїти з кутом на протилежному боці, позначеним літерою D.




Спробуємо розфарбувати його як кільце. Та нічого не виходить: лист Мьобіуса неможливо розфарбувати різними кольорами, тому вчені кажуть, що він має лише одну сторону. Весь лист можна розфарбувати тільки одним кольором. А потрапити з однієї точки поверхні листа у будь-яку іншу можна не перетинаючи краю.




Уявіть, що дві комашки подорожують листом Мьобіуса назустріч одна одній. Де вони зустрінуться?
У звичайного кільця два краї, їх можна розфарбувати різними кольорами. А тепер спробуйте розфарбувати не весь лист Мьобіуса, а лише його край (так само, як у звичайного кільця). Що вийшло? Скільки країв у листа Мьобіуса?





Фокуси з листом Мьобіуса


З листом Мьобіуса можна показувати цікаві фокуси.
Фокус 1
Виріжте дві такі самі смужки паперу, як для листа Мьобіуса. Склейте з них кільце і лист Мьобіуса.
Ножицями акуратно розріжте лист Мьобіуса і кільце вздовж на дві рівні частини. Різати слід уздовж намальованої лінії. Що цікавого вийшло?
Ми отримали не два листи Мьобіуса, як, напевно, сподівалися, а одне довге кільце, перекручене удвічі. А тепер спробуйте кільце, яке отримали, розрізати ще раз так само уздовж, на дві частини.
Фокус 2
Спробуйте розрізати лист Мьобіуса, відступивши від краю приблизно на третину його ширини. Здається, вийде таке саме кільце, як у першому фокусі. Перевірте це. Обіцяю: відповідь буде дивовижною.
Фокус 3
Спробуйте розрізати лист Мьобіуса на більше частин. Вийде цікавий результат.
Фокус 4
Досі всі листи Мьобіуса ми робили з одним напівоборотом. Спробуйте склеїти кільця з двома і більше напівоборотами у них. Чи будуть вони листами Мьобіуса? Що ми отримаємо, якщо розріжемо ці кільця навпіл?

Спробуємо «спіймати» момент перетворення двосторонньої поверхні на односторонню. Візьмемо смужку паперу, розфарбуємо її сторони різними кольорами, склеїмо лист Мьобіуса. Уважно розглянемо його. Що сталося з кольорами? Де «зустрілися» кольори? Уявимо, що по листу Мьобіуса рухається мурашка. Якого кольору буде її стежка?
Повторимо з цим листом Мьобіуса всі описані фокуси. Що нового ми побачили?

Мауріц Корнеліус Ешер

(Інші картини про математику Мауріца Корнеліуса Ешера Ви можете подивитися за посиланням.)

Листи Мьобіуса навколо


Але лист Мьобіуса — не лише вправа для розуму, він і практично застосовується. У вигляді листа Мьобіуса роблять смужку стрічкового конвеєра, що дає змогу йому працювати довше, тому що вся поверхня стрічки рівномірно зношується. Ще застосовуються листи Мьобіуса в системах запису на безперервну плівку (щоб подвоїти час запису), у матричних принтерах фарбувальна стрічка також мала вигляд
листа Мьобіуса для збільшення терміну придатності. Ми можемо побачити фрагменти листа Мьобіуса на атракціоні «Американські гірки».




Фізики-теоретики дійшли висновку, що наш Всесвіт цілком можливо замкнутий у лист Мьобіуса згідно з теорією відносності.
Є гіпотеза, що спіраль ДНК сама собою теж є фрагментом стрічки Мьобіуса і лише тому генетичний код так складений для розшифровки і сприйняття.

Рекомбинантна ДНК Мьобіуса


Фізики, до речі, стверджують також, що всі оптичні закони основані на властивостях листа Мьобіуса, зокрема відображення в зеркалі — це своєрідне перенесення в часі, короткотерміновий, що триває соті долі секунди, адже ми бачимо перед собою правильного, дзеркального свого двійника!

Міст у стилі листа Мьобіуса (Китай)

Проект «Гніздо ластівки» (французьке бюро Vincent Callebaut Architectures, Тайвань)





Усмініхться!


В безмежному Інтернеті я знайшла кілька незвичайних описів дивовижного листа. Це вже не дитячі іграшки! Прочитайте: можливо ці описи відкриють Вам ще кілька таємниць листа Мьобіуса.

Поэтическое описание
Ты вьёшься, Лента, словно виноградная лоза,
И бесконечен поиск в тебе смысла потайного.
Ответов ради дорисую рот тебе я и глаза,
Но без толку! Самодостаточность — твоя основа.
Поверхность эту сердцу не прикажешь разлюбить!
Была б ты девкой, я женился бы, конечно.
Ты ведь способна бесконечно мне борщи варить,
Хотя трепаться по мобиле — тоже бесконечно.
Я долго думал — где у этой хрени край?
Так неожиданно попал я к Ленте в рабство.
Неужто, бесконечный поиск рая и есть рай?!
В наскучившем евклидовом пространстве
                                           Ты вьёшься, Лента, …

Ліза Рей 



Фольклорное описание
В триичетырнадцатом царстве, в сто пятьдесят девятом пространстве Маньковского растёт гипердрево познания неевклидовой геометрии;
На том древе висит чёрный мегалитический гиперкуб;
В том гиперкубе сидит пьяный Клейн со своей бутылкой;
Вообще-то он там случайно оказался — его жена из лаборатории за хлебом выгнала, а он и расстроился;
Кроме того, там сидит сферический конь, исполненный очей, и разговаривает с Клейном о…
Хотя тема их дискуссии нам не важна;
Важно то, что очи у коня исполнились от бинауральных биений из-за острого недостатка вакуума;
А вакуума не стало из-за высокоэнергетического перегара Клейна;
Хотя это всё частные параметры и ими можно смело пренебречь;
В коне же сидит сферическая утка и терпеливо ждёт своей очереди в процессе конского метаболизма;
Впрочем, утка тоже относительно частный параметр, просто она была не достаточно прожаренной;
Таким образом, ввиду грубого нарушения уткой правил санитарии и личной гигиены, в коне завелись ленточные черви;
Однако по той простой причине, что конь сферический, неевклидовый да ещё и в гиперкубе, то и черви, соответственно, не простые — а Ленточные черви Мёбиуса;
Причём черви настолько бесконечно длинные, что даже вращение гиперкуба на релятивистской скорости вопреки обещаниям ОТО не в состоянии их укоротить даже на планковскую длину;
И поскольку это непростые черви Мёбиуса бесконечной длины, то их незаурядные свойства приводят к гравитационному коллапсу и нарушению топологии причинно-следственной связи;
Вследствие чего в целях компенсации сингулярности вокруг червей образуется нечто наподобие сферического коня в вакууме;
Ради краткости изложения опустим некоторые промежуточные аттракторы — правила гигиены уток, офтальмологические проблемы коня и перегары жены Клейна;
Суть в том, что сферический конь по причине критического переизбытка отрицательного вакуума образует вокруг себя защитный гиперкуб;
Который в свою очередь для маскировки порождает вокруг себя древоподобный неевклидовый горизонт событий;
Который в свою очередь имеет природу фрактала с коэффициентом сжатия почему-то равным 3,14159;
Что, по логике, и послужило идентификатором пространства, которое порождено данным фракталом…



Цікаво показувати фокуси? А тепер спробуйте стати справжнім фокусником: не лише показувати «чужі» фокуси, а ще й придумувати свої. Які ще загадки приховує лист Мьобіуса? Чекаю Ваших знахідок!

До наступних зустрічей!


Наступного разу я розповім про пляшку Клейна, «дивний» геометричний об’єкт подібний до листа Мьобіуса.


науковий співробітник Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем Національної академії наук України
та Міністерства освіти і науки України,
автор технології «Логіки світу»
для дітей від 4 до 12 років



Автор: Ірина Стеценко

Немає коментарів:

Дописати коментар