неділя, 28 лютого 2016 р.

Будуємо з паличок геометричні фігури та рахуємо периметр

Конструювання з паличок за технологією «Логіки світу»


Пригадаємо, що і з яких елементів ми конструювали. З різнокольорових геометричних фігур будували силуети тварин, рослин, людей, різні предмети, а також геометричні фігури більшого розміру. Але ж конструювати можна і з інших елементів! Наприклад з паличок однакового розміру. Першокласникам буде цікаво спробувати побудувати геометричні фігури з набору із 20 паличок.

Рішення таких задач допомагає дітям наочно уявити зміст такого поняття як «периметр» (вони уявляють периметр як кількість паличок, з яких складаються сторони багатокутника). Малята ознайомляться з поняттям «периметр багатокутника» неформально, поняття «периметр» в технології «Логіки світу» не вводиться (строге визначення периметра діти вивчають на уроках з математики). Ці задачі допомагають дітям наочно представити суть поняття «периметр», навчитися їм свідомо користуватися. Все це дає змогу поглибити і закріпити знання дітей, які отримані (або ще будуть отримуватись) на уроках з математики.

Діти навчаються пов’язувати периметр з типом багатокутника. Вони відповідають на запитання про можливість або неможливість побудови багатокутників заданого типу із заданим периметром. Звісно, що до цих висновків діти доходять переважно шляхом експерименту. Деякі висновки ґрунтуються на інтуїції дітей. Вони спочатку намагаються із заданої кількості паличок побудувати багатокутник заданого типу, а вже потім, переконавшись у неможливості побудови, намагаються це пояснити.
Можна запропонувати дитині підрахувати, скільки паличок не вистачає для побудови заданого багатокутника. А може, кілька паличок зайві? Яку ж геометричну фігуру можна побудувати із заданої в умові завдання кількості паличок? Чи на це запитання існує тільки один варіант відповіді?
Завдання на конструювання багатокутників з паличок розвивають також і комбінаторні здібності дітей. У деяких завданнях дітям пропонується із заданої кількості паличок побудувати якомога більше різних геометричних фігур заданого типу (для побудови кожного багатокутника діти обов’язково мають використати усі палички, згідно з умовою задачі). Діти вже добре знають, що геометричні фігури одного типу можуть відрізнятися одна від одної формою і розміром. Розв’язуючи такі задачі, не можна побудувати геометричні фігури одного типу, але різного розміру (це суперечить умові): за умовою задачі, слід використати усі палички. Тому геометричні фігури заданого типу відрізнятимуться одна від одної тільки формою. Таким чином, у ході рішення цих задач діти придумують якомога більше геометричних фігур заданого типу певної форми, які можна викласти із заданої кількості паличок.
А може, ця задача взагалі має тільки один розв’язок? Спробуємо побудувати геометричні фігури різних типів з дванадцяти паличок. Виявляється, що з дванадцяти паличок ми можемо побудувати два різних прямокутника, три різних трикутника і тільки один квадрат. Власне кажучи, із заданої кількості паличок або можна, або не можна побудувати квадрат. Квадратів різної форми не буває! Ми не можемо із заданої кількості паличок побудувати різні квадрати, використавши для побудови кожного квадрата усі палички. Цей цікавий висновок діти інтуїтивно роблять за допомогою експерименту (більшість дітей цей висновок пояснити ще не може).




До кожної із задач цього типу можна поставити дітям додаткове запитання на розвиток геометричної інтуїції. Які ще геометричні фігури можна побудувати із паличок, що використовувалися у задачі? Нагадайте малятам, що вони мають використати всі палички, задані в умові для побудови кожної геометричної фігури. Жодна паличка не повинна виявитися зайвою. Хто з дітей побудує більше різних геометричних фігур? У ході рішення таких додаткових задач уже немає жодних обмежень, окрім кількості паличок, які можна використовувати. Діти можуть будувати геометричні фігури, які відрізняються одна від одної типом, розміром, формою.
Варто пропонувати задачі цього типу з неоднозначним рішенням. Діти не мають зупинятися на якомусь одному розв’язку, а пробувати знайти якомога більше різних варіантів. Наприклад: які геометричні фігури можна побудувати з шести паличок? Із шести паличок можна побудувати трикутник, прямокутник і шестикутник (див. малюнок нижче). Можливо, діти знайдуть іншу відповідь на це запитання?



Розв’язуючі такі задачі діти помічають: із однакової кількості паличок можна викласти геометричні фігури різних типів (геометричні фігури різного типу можуть мати однаковий периметр).
Щоб зробити умову задач більш наочною, використовую запис умови за допомогою рівняння.
Ось приклади задач.

Задача 1

Побудуй трикутник із 3 паличок. Поміркуй, чи можна побудувати трикутник з меншої кількості паличок? Обґрунтуй свою відповідь.



Діти легко будують трикутник з трьох паличок. Найважливіше зараз — знайти відповідь на запитання про можливість побудови трикутника з меншої кількості паличок і обґрунтувати свою відповідь.
Насамперед потрібно визначитися, з якої ж кількості паличок пропонується побудувати трикутник у задачі. Яка кількість паличок менша, ніж три? Дві палички або одна паличка. Спробуємо побудувати трикутник з двох, а потім з однієї палички. Побудувати трикутник з такої кількості паличок не виходить. Чому? Спробуємо обґрунтувати свою відповідь.
Пригадаємо основні елементи трикутника. Кожний трикутник має три кути і три сторони. Уважно подивимося на трикутник, який ми побудували з трьох паличок.



Які елементи трикутника побудовані з паличок? Із паличок побудовані три сторони трикутника: кожна паличка утворює одну сторону трикутника. Які ще елементи трикутника будуються з паличок? Із паличок також побудовані кути трикутника: кожний кут трикутника складається з двох паличок. Запропонуйте дітям показати кожний елемент трикутника і палички, які його утворюють. Малюки помічають: кожна паличка допомагає утворити два кути трикутника (кожна паличка є спільною для двох кутів трикутника).



Ще раз спробуємо побудувати трикутник із двох паличок. Виявляється, що нам не вистачило паличок для побудови трикутника. Для побудови яких елементів трикутника нам не вистачило паличок? Ми змогли побудувати тільки дві сторони трикутника. У нас не вистачило одної палички для побудови його третьої сторони.



З яких елементів складається побудована нами фігура? Ми побудували фігуру, яка складається лише з двох сторін і одного кута. Тому цю фігуру трикутником назвати не можна, трикутник не можна побудувати з двох паличок, тому що з двох паличок ми можемо побудувати лише дві сторони геометричної фігури, а трикутник має три сторони. Нам не вистачило одної палички для побудови третьої сторони трикутника.
Однак пояснення неможливості побудови трикутника з двох паличок може бути й іншим. Трикутник не можна побудувати з двох паличок, тому що з них можна побудувати тільки один кут, а трикутник повинен мати три кути. Нам не вистачить одної палички для побудови ще двох кутів трикутника.
Розмірковуючи аналогічно, діти доходять до висновку: з одної палички трикутник також побудувати не можна, бо нам не вистачає принаймні двох паличок для побудови двох інших сторін трикутника.
Таким чином, трикутник можна побудувати щонайменше з трьох паличок.
А чи можна побудувати трикутник з 4-х паличок однакового розміру? Чому?



Після такого детального пояснення розв’язку задачі діти вже досить легко підраховують найменшу кількість паличок, необхідну для побудови інших геометричних фігур — квадрата, п’ятикутника, шестикутника тощо.
Яка найменша кількість паличок потрібна для побудови одної сторони квадрата (п’ятикутника, шестикутника тощо)? Для побудови кожної сторони цих багатокутників нам потрібно взяти щонайменше одну паличку. Підрахуємо найменшу кількість паличок для побудови усіх сторін кожного з цих багатокутників. Наприклад, для побудови квадрата нам потрібно взяти мінімум чотири палички (квадрат має чотири сторони однакової довжини), для побудови п’ятикутника — мінімум п’ять паличок (п’ятикутник має п’ять сторін) тощо.
А от яку найменшу кількість паличок нам потрібно використати для побудови прямокутника? Першокласники можуть дати відповідь — чотири. Так з цих паличок можна побудувати лише квадрат! Обґрунтовуючи свою відповідь, діти можуть довести: квадрат можна теж вважати прямокутником. Яка ж найменша кількість паличок потрібна для побудови прямокутника, який не є квадратом? Цю відповідь ми отримаємо розв’язуючи наступну задачу.

Задача 2

Побудуй прямокутник із 5 паличок. Чи можна його побудувати? Поміркуй, скільки потрібно паличок, щоб побудувати найменший прямокутник?



Спочатку запропонуємо дітям побудувати прямокутник з п’яти паличок. Вийшло? Ні, з п’яти паличок прямокутник побудувати не можна.



Чому? Не вистачає одної палички для побудови четвертої сторони прямокутника.
Скільки паличок потрібно для побудови найменшого прямокутника? Спробуємо побудувати прямокутник із чотирьох паличок. Із такої кількості паличок ми можемо побудувати з прямокутників тільки квадрат.



Звісно, серед визначень квадрата є й таке: квадрат — це прямокутник, в якого всі сторони рівні. Тому, квадрат — це окремий вид прямокутника. Але все таки за умовою задачі нам потрібно побудувати саме прямокутник (а не його окремий випадок). Чи можна побудувати прямокутник з меншої кількості паличок ніж чотири? Ні не можна, тому що у прямокутника чотири сторони, і для їх побудови нам просто не вистачить паличок. Експериментальним шляхом ми вже дійшли висновку про неможливість побудови прямокутника з п’яти паличок. Таким чином, для побудови найменшого прямокутника нам потрібно взяти паличок більше, ніж п’ять. Скільки паличок нам не вистачає для побудови прямокутника? У прямокутника протилежні сторони однакові. Якщо одна з протилежних сторін складається з двох паличок, то й інша сторона теж має складатися з двох паличок. Такий же висновок можна зробити, просто уважно розглянувши малюнок. Тому для побудови найменшого прямокутника нам не вистачає одної палички: його можна побудувати з шести паличок.



Задача 3

Поміркуй, скільки потрібно паличок, щоб побудувати:
• 2 трикутники;
• 3 трикутники;
• 4 трикутники?
Яка найменша кількість паличок тобі потрібна для виконання кожного з цих завдань?

Звичайно, є багато варіантів рішення задачі: для кожного випадку ми можемо досить легко придумати кілька трикутників різної форми. Тому слід зосередити увагу дітей на визначення найменшої кількості паличок, потрібних для виконання цього завдання.
Яка найменша кількість паличок потрібна для побудови одного трикутника? Трикутник має три сторони. Кожна сторона складається щонайменше з одної палички. Тому найменша кількість паличок, яка потрібна для побудови одного трикутника, — три палички.
Тепер неважко підрахувати найменшу кількість паличок для побудови двох трикутників (потрібно шість паличок), трьох трикутників (потрібно дев’ять паличок) і чотирьох трикутників (потрібно дванадцять паличок). Діти спочатку будують задану кількість найменших трикутників, а потім підраховують використані палички.
Звичайно, ця відповідь буде правильною, якщо трикутники розташовуватимуться окремо один від одного (вони не мають спільних сторін).
А як ще можна розв’язати цю задачу? Як ти гадаєш, чи можна для побудови інших трикутників використовувати палички, з яких вже побудовано перший трикутник? Так. Наприклад, для побудови другого трикутника можна використати одну паличку першого трикутника. У цьому випадку два трикутника матимуть одну спільну сторону. Для побудови другого трикутника ми використаємо ще дві палички.
Чи можна побудувати два трикутники не з одною, а з двома спільними сторонами? А два трикутники з трьома спільними сторонами? Якщо це неможливо, спробуйте пояснити чому.
Запропонуйте дітям побудувати два трикутники з двома і трьома спільними сторонами. Експериментальним шляхом малюки доходять до висновку, що такі трикутники побудувати не можна.
Спробуйте разом із дітьми пояснити, чому не можна побудувати два трикутники з трьома спільними сторонами. Кожний трикутник має три сторони. За умовою, два трикутники повинні мати три спільні сторони, тобто всі сторони трикутників будуть спільними. Якщо ці два трикутники накласти один на одний, ми їх не побачимо, а помітимо лише один трикутник.
Важче пояснити, чому не можна побудувати двох трикутників з двома спільними сторонами. Тому в цьому випадку слід покладатися на результат експерименту й інтуїцію дітей. Відзначу, що взагалі це зробити можна, але тоді кожна сторона одного з трикутників викладатиметься не з одної, а з більшої кількості паличок, одна із сторін буде спільною для двох трикутників. Спільною для трикутників буде також і частина другої сторони (а не вся друга сторона трикутника). Один з трикутників розміститься в середині другого трикутника. За умовою потрібно знайти найменшу кількість паличок для побудови двох трикутників, тому цей випадок нас не цікавить.



Якщо уважно придивитися до наведеного вище малюнка, можна знайти на ньому одразу три трикутники, але ці трикутники вийшли «вкладеними»: два трикутники знаходяться в середині третього. Цей випадок ми зараз не розглядаємо, тому що у дітей цього віку можуть виникнути труднощі при побудові вкладених геометричних фігур: задачі цього типу ще не розраховані на розгляд вкладених геометричних фігур. Хоч, якщо ви бачите готовність дітей, сміливо розглядайте і такий випадок.
Запропонуйте дітям розв’язати цю задачу у випадку, коли трикутники можуть мати спільні сторони.
Визначимо найменшу кількість паличок для побудови двох трикутників. Спочатку побудуємо трикутник із трьох паличок. Одна зі сторін цього трикутника буде також і стороною другого трикутника. Яка найменша кількість паличок потрібна для побудови ще двох сторін другого трикутника? Звичайно, для побудови другого трикутника нам потрібно взяти ще дві палички (це найменша кількість паличок для побудови двох інших сторін другого трикутника).
Таким чином, для побудови двох трикутників зі спільною стороною нам потрібно взяти п’ять паличок.



Тепер визначимо мінімальну кількість паличок для побудови трьох трикутників. Діти розв’язують цю задачу без особливих труднощів — за аналогією із попередньою. Один з варіантів рішення зображено на малюнку нижче.



Таким чином, для побудови трьох трикутників зі спільною стороною нам потрібно щонайменше сім паличок.
Додамо до вже побудованих трьох трикутників ще дві палички, і в нас вийде вже чотири трикутники. Найменша кількість паличок для побудови чотирьох трикутників із спільною стороною — дев’ять. Один із варіантів побудови чотирьох трикутників наведено на малюнку нижче.



Таким чином, розв’язуючи задачі на двовимірне конструювання ми вирішили одразу кілька завдань — поглибили знання дітей про периметр, повторили елементи багатокутників та чим багатокутники відрізняються один від одного, розвинули винахідливість малят.


науковий співробітник Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем Національної академії наук України
та Міністерства освіти і науки України,
автор технології «Логіки світу»
для дітей від 4 до 12 років



Автор: Ірина Стеценко