Різні порівняння — різні використання

Математика у повсякденні

Ми звикли рахувати, вимірювати, а вже потім порівнювати. Виходить все точно і ніяких помилок! Але пригадаймо, чи у житі часто так буває? Тож напевно не варто зупинятися і треба йти далі — порівнювати “на око”, тобто здійснювати якісне порівняння.

 

Навчайте дітей вже із дитячого садочка порівнювати не рахуючи, а коли перевіряти, то вже рахувати. Звісно, якщо порахувати взагалі буде можливо.

Роздивіться з дітьми осінні світлини.

 

• Які барви є в осені?

• Яких барв на якій світлині більше,  яких менше?

• Яка світлина у який місяць осені зроблена? Чому ви зробили саме такий висновок?

Звісно, перевірити все точно тут не вийде, але це лише початок. Потім можна порівнювати вагу двох предметів, порівняння площин двох ділянок… а це саме ті задачі, які ми розв’язуємо у повсякденному житті.

 

Ірина СТЕЦЕНКО,

науковий співробітник Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем Національної академії наук України

та Міністерства освіти і науки України,

автор технології «Логіки світу»

для дітей від 4 до 12 років

 

Дізнайтеся про що блог

Дивна пляшка

Несподівана математика

У математиці є багато об’єктів з дивовижним властивостями. Якісь з них знайшли використання у повсякденному житті, якісь — ще ні, але ж все можливо… У попередній статті ми досліджували лист Мьобіуса, сьогодні ознайомимось з подібним геометричним об’єктом вже у просторі — пляшкою Клейна. Якщо лист Мьобіуса є односторонньою площиною, то пляшка Клейна — одностороння поверхня. На відміну від кулі, комаха, яка лізе по поверхні пляшки Клейна, може потрапити із зовнішнього боку на внутрішній, не проходячи крізь поверхню.

Мрія середньовічного алхіміка — мати досконалу герметичну посудину, де зовнішнє переходить у внутрішнє і внутрішнє в зовнішнє, яка містить сама себе і переходить сама у себе, у якої внутрішнє і зовнішнє єдине... Все це чимось нагадує змію, яка згорнулась у кільце і заковтнула свій власний хвіст...

Саме таким є дивовижний об’єкт — як пляшка Клейна, яка вражає своєю незвичністю!

Пляшка Клейна вперше була описана 1882 р. німецьким математиком Феліксом Клейном. У ній нерозрізнювані внутрішня та зовнішня поверхні.

На відміну від звичайної пляшки, у цього об’єкта немає «краю», де б поверхня закінчувалася. На відміну від кулі, можна пройти шлях з середини назовні, не перетинаючи поверхню (тобто насправді у цього об’єкта немає «всередині» і немає «зовні»).

Раз моряки, погожим днем

Пустились по морю втроем.

Но не в тазу — была у них

Бутылка Клейна на троих.

Три моряка в бутылку сели

В ней не страшны ни шторм, ни мели.

Но оказалось им на горе

И судно в море, и в судне море.

                                   Фредерик Уинзор

Пляшку Клейна можна отримати в результаті склеювання двох стрічок Мьобіуса по краях. У звичайному тривимірному просторі зробити це, не утворюючи самоперетину, неможливо. Тому справжня пляшка Клейна існує тільки у чотиривимірному просторі!

Пам’ятайте картину із зображенням листа Мьобіуса і повзучих по ній мурах?

Подорож того ж мурашки поверхнею пляшки Клейна теж перетвориться на нескінченність! Йому не доведеться переходити із зовнішнього боку на внутрішню — він єдиний! І це буде справедливо і для теоретичної, і для реальної пляшки Клейна.

Якщо розрізати пляшку уздовж вертикальної осі симетрії, то ми отримаємо дві стрічки Мьобіуса.

Цікаво, що за допомогою одного замкненого розрізу пляшку Клейна можна перетворити лише в один лист Мьобіуса!

Пляшці Клейна присвячений один з жартівливих лимериків Джеймса Ліндона:

Некто Клейн, не любивший вина,

Раз придумал бутылку без дна.

Восклицал он: «К тому же

Что внутри — в ней снаружи!

Даже пробка совсем не нужна!»

Зазирнути до магазину скляних пляшок Клейна можна за посиланням

Подивіться фільм про подорож всередині пляшки Клейна

Ірина СТЕЦЕНКО,

науковий співробітник Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем Національної академії наук України

та Міністерства освіти і науки України,

автор технології «Логіки світу»

для дітей від 4 до 12 років

Дізнайтеся про що блог

Читайте роздуми щодо теми блогу

Автор: Ірина Стеценко

Загадкова стрічка Мебіуса

Несподівана математика

З чого починаються великі відкриття? З подиву, з чогось цікавого, дивного і незрозумілого… А ще вони починаються з маленьких відкриттів, які діти роблять щодня. Коли ми бачимо щось дивовижне, то хочеться одразу дізнатися про це якомога більше. Несподіванки можна побачити щодня, треба лише вміти побачити і зрозуміло пояснити дітям.

Пояснення мають бути не «іграшковими», а науковими (саме так!), бо дошкільнята і маленькі школярі — справжні дослідники, науковці-початківці. Звісно, зараз ми відкриємо не всі таємниці природи: у малят не вистачить знань законів природи, щоб зрозуміти все до кінця. Поступово знання дітей стануть більш глибокими і наші пояснення вже відомих фактів стануть детальнішими, але у жодному разі вони не суперечитимуть попереднім поясненням.

А зараз ми маємо зацікавити дитину-дослідника, щоб вона не розучилася дивуватися, спостерігати, експериментувати, поступово навчалася робити висновки, аналізувати, узагальнювати.

Озирнемося з малятами навколо і знайдемо диво у звичайному. Як? Про це мої публікації. Отже, зробимо разом з дітьми перший крок до майбутніх відкриттів.

Дивовижна поверхня

Ми змалку звикли, що всі поверхні мають дві сторони. У звичайнісінького листочка на дереві одна сторона може бути темно-зеленою, інша — світло-зеленою, майже білою. На одній стороні аркуша в книжці може бути текст, а зате на другій — яскравий малюнок. Якщо одну сторону аркуша звичайного паперу ми зафарбуємо червоним кольором, тоді друга його сторона залишиться білою, і ніщо нам не заважатиме потім розфарбувати її на свій смак.

Візьмемо довгу смужку паперу і склеїмо з неї кільце. «Нічого незвичайного!» — скажете ви. Та й, справді, — звичайне кільце. Одну його сторону, наприклад, зовнішню, можна розфарбувати червоним кольором, а другу — зеленим. Все як завжди. Якщо комашка буде повзти по червоній стороні кільця, то, щоб опинитися на зеленій, їй неодмінно доведеться перелізти через край кільця.

Є кільце — стрічка Мебіуса, іноді її називають смужкою Мебіуса (і кожен може легко і швидко його зробити!), для якого все вже написано, — неправда. Стрічка  Мебіуса має лише одну сторону та один край. 

Уперше її винайшов німецький математик Август Фердинанд Мебіус, 1858 р. А наштовхнув його на таке відкриття, мабуть, цікаво зав’язаний шарфик його домоправительки, а, можливо, неправильно зшита служницею стрічка.

Август Фердинанд Мебіус (1790–1868 рр.) — німецький математик та астроном-теоретик.

1813–1814 рр. Мебіус був учнем «короля математиків» К. Гаусса. З 1816 р. почав вести самостійні астрономічні спостереження у Плейсенбурзькій обсерваторії, 1818 р. став її директором, згодом — професором Лейпцигського університету.

Щоб зробити стрічку Мебіуса, слід взяти таку саму смужку паперу як та, з якої ми робили кільце. Склеїти її треба так: кут, позначений літерою А, склеїти з кутом на протилежній стороні, що позначений літерою С; кут, позначений літерою В, склеїти з кутом на протилежному боці, позначеним літерою D.

Спробуємо розфарбувати її як кільце. Та нічого не виходить: стрічку Мебіуса неможливо розфарбувати різними кольорами, тому вчені кажуть, що вона має лише одну сторону. Всю стрічку можна розфарбувати тільки одним кольором. А потрапити з однієї точки поверхні листа у будь-яку іншу можна не перетинаючи краю.

Уявіть, що дві комашки подорожують стрічкою Мебіуса назустріч одна одній. Де вони зустрінуться?

У звичайного кільця два краї, їх можна розфарбувати різними кольорами. А тепер спробуйте розфарбувати не всю стрічку Мебіуса, а лише її край (так само, як у звичайного кільця). Що вийшло? Скільки країв у стрічки Мебіуса?

Фокуси зі стрічкою Мебіуса

Зі стрічкою Мебіуса можна показувати цікаві фокуси.

Фокус 1

Виріжте дві такі самі смужки паперу, як для стрічки Мебіуса. Склейте з них кільце і стрічку Мебіуса.

Ножицями акуратно розріжте стрічку Мебіуса і кільце вздовж на дві рівні частини. Різати слід уздовж намальованої лінії. Що цікавого вийшло?

Ми отримали не два стрічки Мебіуса, як, напевно, сподівалися, а одне довге кільце, перекручене удвічі. А тепер спробуйте кільце, яке отримали, розрізати ще раз так само уздовж, на дві частини.

Фокус 2

Спробуйте розрізати стрічку Мебіуса, відступивши від краю приблизно на третину її ширини. Здається, вийде таке саме кільце, як у першому фокусі. Перевірте це. Обіцяю: відповідь буде дивовижною.

Фокус 3

Спробуйте розрізати стрічку Мебіуса на більше частин. Вийде цікавий результат.

Фокус 4

Досі всі стрічки Мебіуса ми робили з одним напівоборотом. Спробуйте склеїти кільця з двома і більше напівоборотами у них. Чи будуть вони такими ж за властивостями як стрічка Мебіуса? Що ми отримаємо, якщо розріжемо ці кільця навпіл?

Спробуємо «спіймати» момент перетворення двосторонньої поверхні на односторонню. Візьмемо смужку паперу, розфарбуємо її сторони різними кольорами, склеїмо стрічку Мебіуса. Уважно розглянемо її. Що сталося з кольорами? Де «зустрілися» кольори? Уявимо, що по стрічці Мебіуса рухається мурашка. Якого кольору буде її стежка?

Повторимо з цією стрічкою Мебіуса всі описані фокуси. Що нового ми побачили?

Мауріц Корнеліус Ешер

(Інші картини про математику Мауріца Корнеліуса Ешера Ви можете подивитися за посиланням.)

Стрічки Мебіуса навколо

Але стрічка Мьобіуса — не лише вправа для розуму, вона і практично застосовується. У вигляді стрічки Мебіуса роблять смужку стрічкового конвеєра, що дає змогу йому працювати довше, тому що вся поверхня стрічки рівномірно зношується. Ще застосовуються стрічки Мебіуса в системах запису на безперервну плівку (щоб подвоїти час запису), у матричних принтерах фарбувальна стрічка також мала вигляд стрічки Мебіуса для збільшення терміну придатності. Ми можемо побачити фрагменти стрічки  Мебіуса на атракціоні «Американські гірки».

Фізики-теоретики дійшли висновку, що наш Всесвіт цілком можливо замкнутий у стрічку Мебіуса згідно з теорією відносності.

Є гіпотеза, що спіраль ДНК сама собою теж є фрагментом стрічки Мебіуса і лише тому генетичний код так складений для розшифровки і сприйняття.

Рекомбинантна ДНК Мебіуса

Фізики, до речі, стверджують також, що всі оптичні закони основані на властивостях стрічки Мебіуса, зокрема відображення в зеркалі — це своєрідне перенесення в часі, короткотерміновий, що триває соті долі секунди, адже ми бачимо перед собою правильного, дзеркального свого двійника!

Міст у стилі стрічки Мебіуса (Китай)

Проєкт «Гніздо ластівки» (французьке бюро Vincent Callebaut Architectures, Тайвань)

Усмініхться!

В безмежному Інтернеті я знайшла незвичайний опис дивовижної стрічки. Це вже не дитячі іграшки! Прочитайте: можливо опис відкриє Вам ще кілька таємниць стрічки Мебіуса.

Поэтическое описание

Ты вьёшься, Лента, словно виноградная лоза,

И бесконечен поиск в тебе смысла потайного.

Ответов ради дорисую рот тебе я и глаза,

Но без толку! Самодостаточность — твоя основа.

Поверхность эту сердцу не прикажешь разлюбить!

Была б ты девкой, я женился бы, конечно.

Ты ведь способна бесконечно мне борщи варить,

Хотя трепаться по мобиле — тоже бесконечно.

Я долго думал — где у этой хрени край?

Так неожиданно попал я к Ленте в рабство.

Неужто, бесконечный поиск рая и есть рай?!

В наскучившем евклидовом пространстве

                                           Ты вьёшься, Лента, …

Ліза Рей 

Цікаво показувати фокуси? А тепер спробуйте стати справжнім фокусником: не лише показувати «чужі» фокуси, а ще й придумувати свої. Які ще загадки приховує стрічка Мьобіуса? Чекаю Ваших знахідок!

До наступних зустрічей!

Наступного разу я розповім про пляшку Клейна, «дивний» геометричний об’єкт подібний до стрічки Мьобіуса.

Ірина СТЕЦЕНКО,

науковий співробітник Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем Національної академії наук України

та Міністерства освіти і науки України,

автор технології «Логіки світу»

для дітей від 4 до 12 років

Дізнайтеся про що блог

Читайте роздуми щодо теми блогу

Автор: Ірина Стеценко

Математичні ідеї у живописі

Несподівана математика

Ми звикли дізнаватися про математику з поважних, серйозних джерел, довго читати, аналізувати, думати… Але ж іноді, щоб зрозуміти важливо побачити, відчути. Сьогодні представляю Вам дивовижні картини художника Мауріца Корнеліуса Ешера, у яких він наочно розповідає про математичні поняття. Отже, дивіться, зіставляйте, думайте!

Роботи Ешера — приголомшливі ілюстрації симетрії, застосовні в інженерній справі, геології і криптографії.

Мауріц Корнеліус Ешер (1898–1972 рр.) — нідерландський художник-графік. Відомий насамперед своїми дотепними літографіями і гравюрами, в яких майстерно досліджував пластичні аспекти понять нескінченності та симетрії, а також особливості психологічного сприйняття складних тривимірних об’єктів, дав оригінальну візуальну інтерпретацію деяких математичних законів. Для нього характерне дотепне осмислення логічних і пластичних парадоксів. Це ще цікавіше тим, що сам Ешер не мав спеціальної математичної освіти. Коли одного разу відомий геометр Кокстер запросив Ешера на свою лекцію про математичний зміст його літографій, художник не зрозумів майже ні слова.

Неможливі ситуації

Мозаїка

Симетрія

Парадокси або омана зору

Моріс Ешер одним з найперших став зображати у своїх мозаїчних картинах фрактали. Лише десятиліття потому учені стали вивчати властивості цих фігур і з допомогою ЕОМ створювати те, що Ешер малював вручну.

Лист Мьобіуса служив натхненням для скульптур и для графічного мистецтва. Ешер був одним з художників, хто особливо любив його і присвятив кілька своїх літографій цього математичного об’єкта.

Про те, як цікаво і дотепно дослідити з дітьми лист Мьобіуса читайте наступну статтю.

Ірина СТЕЦЕНКО,

науковий співробітник Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем Національної академії наук України

та Міністерства освіти і науки України,

автор технології «Логіки світу»

для дітей від 4 до 12 років

Дізнайтеся про що блог

Читайте роздуми щодо теми блогу

Автор: Ірина Стеценко