Множини: подальший розвиток завдань з обручами

Завдання для молодших школярів: 1–2 клас

Існує дуже багато типів завдань з теорії множин для дітей дошкільного та молодшого шкільного віку. Подальшим розвитком завдань з одним, двома і трьома колами (Ви про них читали в попередніх статтях) є завдання на операції з геометричними фігурами. Їх розв’язують діти 1-2 класів.

Діти вже добре знають, що множини можна визначити, перелічуючи їх елементи (наприклад, множина квітів: троянда, ромашка, бузок, хризантема, волошка), описуючи їх  (наприклад, стадо, букет тощо), графічним способом (наприклад, намалювати елементи множини). Вони вміють за допомогою діаграм Ейлера-Вена знаходити об’єднання і перетини двох або трьох множин, заданих переліком елементів.

Молодші школярі опрацьовують переважно графічний спосіб задання множин і операції над множинами, заданими за допомогою діаграм Ейлера-Вена. Звичайно, поняття «множина» і «операції над множинами» їм ще невідомі. Так само, як і поняття «об’єднання множин», «перетин множин», «діаграми Ейлера-Вена». Діти вивчають множини за допомогою простих, наочних і яскравих прикладів, зміст яких тісно пов’язаний з життям. Цим вимогам найбільше відповідає саме графічний спосіб задання множин. Пізніше, у середній і старшій школі, діти детальніше вивчатимуть визначення і властивості множин, операції над ними, і їм у пригоді стануть знання і навички, отримані під час розв’язку цих завдань. Мій досвід викладання курсу «Логіки світу» (дитячий садок і початкова школа) й інформатики (середні і старші класи) підтверджує: діти, що навчаються за програмою курсу «Логіки світу», краще засвоювали матеріал курсів математики й інформатики, ніж інші.

Розв’язуючи ці завдання, діти вивчають ще один графічний спосіб завдання множин, вчаться виконувати операції над ними. Ось приклади кількох множин, що використовуються в завданнях.

Спробуємо визначити, що є елементами цих множин.

а) Елементами цієї множини є точки площини, що лежать у середині кола (на малюнку елементи множини зафарбовано сірим кольором).

б) Елементами цієї множини є точки площини, що  лежать в середині замкненої лінії.

в) Елементами цієї множини є точки площини, що утворюють відрізок (далі на малюнках елементи таких множин ми позначатимемо жирною лінією).

г) Елементами цієї множини є точки площини, що утворюють ламану.

д) Елементами цієї множини є точки площини, що  лежать в середині багатокутника (на малюнку елементи множини зафарбовано сірим кольором).

Щоб дітям легше було зрозуміти, що саме є елементами множини, запропонуйте їм поміркувати, які точки належать цій фігурі. Варто наголосити: окрім точок, що лежать в середині фігури, слід враховувати ще й її контури. Отже, фігурі належать усі точки в середині фігури та її контур. Спробуємо показати це на малюнку. Запропонуйте дітям показати точки, що належать фігурі. Виконуючи це завдання, діти зазвичай малюють олівцем маленькі точки в середині фігури. Наприклад, так:

Обов’язково слід привернути їхню увагу до контуру фігури: ми домовилися, що він теж належить фігурі, тому ми можемо малювати точки і на контурі. На малюнку я показала деякі точки на контурі фігури, які належать (ці точки зафарбовано в білий колір).

За допомогою цих малюнків ми показали тільки деякі точки, що належать фігурі. Насправді їх набагато більше. Як показати на малюнку всі точки, що належать фігурі? Треба ставити їх дуже близько одна біля одної. Діти починають ставити точки все щільніше і поступово зафарбовують середину фігури. Тепер на це запитання можна відповісти точніше: щоб показати на малюнку всі точки, що належать фігурі, треба акуратно зафарбувати фігуру і навести кольоровим олівцем її контур.

Після такого детального пояснення дітям вже неважко буде знайти і намалювати точки, що належать іншим фігурам (знайти елементи інших множин на малюнку.)

Які точки належать цій фігурі? Намалюй їх. Діти кольоровим олівцем малюють точки на ламаній. Чи всі точки, що належать фігурі, ми позначили? Можна знайти на малюнку ще хоч одну незафарбовану точку, що належить фігурі? Поміркувавши, діти наводять кольоровим олівцем всю ламану.

У завданнях з колами ми вже знаходили перетин і об’єднання множин. Тоді множини були задані переліком їх елементів або описом. У цих завданнях множини задані графічним способом (їх утворюють  точки площини, що лежать у середині фігури або належать відрізкам ламаної лінії), тому ми не можемо перелічити всі елементи множини. Можна лише показати, де вони знаходяться.

Спробуємо на знайомому прикладі визначити, як знаходити перетин і об’єднання таких множин. Виберемо для цього два кола, що перетинаються. Звичайно, дітям буде неважко знайти перетин і об’єднання таких кіл, адже ми використовували їх у попередніх завданнях. Але, можливо, варто ще раз детально розглянути неважкий приклад, що дозволить дітям краще розв’язувати наступні (набагато складніші) завдання.

Знайдемо спільну частину (перетин) кіл. Які частини кіл належать перетину? Як знайти точки площини, що належать до перетину кіл? Які точки належать обом колам одночасно? Багато дітей одразу знайде відповідь на це запитання. Але я вважаю потрібним на цьому неважкому прикладі показати, як наочно можна знайти відповідь на це запитання. Запропонуйте дітям взяти два олівці різних кольорів (наприклад, жовтого і синього), і одним з них (наприклад, жовтим) позначити всі точки, що належать до першого кола, а  іншим – синім - позначити точки, що належать до другого кола. Як ми позначили точки, що належать до обох кіл одночасно? Вони зафарбовані і жовтим, і синім кольорами.

Знайдемо об’єднання фігур (об’єднання множин). Які точки належать до об’єднання фігур? Це всі точки першої фігури і всі точки другої фігури. Пояснимо це на прикладах. Точка 1 належить до об’єднання фігур, тому що вона лежить у першому колі. Точка 2 належить до об’єднання фігур, тому що вона лежить у середині одразу двох кіл. Точки 4, 3, 5 лежать в якомусь одному колі, тому всі вони належать до об’єднання фігур. Точка 6 не належить до об’єднання фігур, тому що вона не належить жодному з кіл (не лежить ні в першому, ні в другому колі). Запропонуйте дітям намалювати свої точки, що належать до об’єднання кіл. Де вони знаходяться? Тепер намалюємо розв’язок.

Розфарбуємо кола олівцями різного кольору — одне жовтим, інше — червоним. Яким кольором зафарбоване об’єднання кіл? Воно зафарбоване жовтим і червоним кольорами, об’єднанню фігур також належать точки, зафарбовані двома кольорами одночасно (і жовтим, і червоним). Коротко можна сказати так: об’єднанню фігур належать усі точки, зафарбовані хоч одним кольором.

Остання операція над множинами у цьому завданні — об’єднання мінус перетин — аналогічна математичній операції «мінус». З об’єднання фігур треба вилучити всі точки, що належать до перетину. Можна зафарбувати простим олівцем об’єднання фігур і витерти гумкою перетин. Це порівняно неважка операція: неважко здійснити і її графічну інтерпретацію. На мою думку, важливо з часом привчати дітей малювати одразу ж відповідь на це запитання: «розв’язувати завдання усно».

Далі переходимо до розв’язування задач…

Ірина СТЕЦЕНКО,

науковий співробітник Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем Національної академії наук України

та Міністерства освіти і науки України,

автор технології «Логіки світу»

для дітей від 4 до 12 років

Дізнайтеся про що блог

Читайте роздуми щодо теми блогу

Автор: Ірина Стеценко