Дослідження по-дорослому (продовження)

Сходинки маленького дослідника: комбінаторика і системи числення

Початок статті про дослідження читайте за посиланням

Є багато задач, які розв’язуються перебором варіантів. Це задачі розфарбування паркету, смужечок тканини, складання букетів, виконання однакових за обсягом часу і важливості справ тощо. Необхідно бути певним, що знайдено всі варіанти розв’язання, а вже потім вибирати найприйнятніший варіант. Пропустимо один з варіантів і розв’яжемо задачу неправильно. Як краще діяти? Адже розв’язуючи такі задачі безсистемно, велика ймовірність, що буде пропущений один з варіантів.

Розв’язувати такі задачі нам допомагає комбінаторика — розділ математики, який вивчає кількість комбінацій, що задовольняють певним умовам. Комбінації можна складати з будь-яких елементів із заданої множини. Але комбінаторика вказує лише напрям, яким потрібно йти. А як саме йти — визначає людина.

Комбінаторика в дизайні

Комбінаторика у малюнках

Комбінаторика у композиціях

Тож щоб розв’язувати такі задачі необхідно бути вигадливим і уважним, знайти спосіб порівняння знайдених варіантів на повноту і оптимальність. Знайти всі можливі варіанти нам можуть допомогти системи числення. Закодуємо кольори (або напрями) цифрами, тоді всі числа з певною кількістю розрядів і будуть різними варіантами розв’язку комбінаторних задач. Розглянемо задачі про розфарбування прапорців у смужечку. Скільки різних прапорців можна скласти з двох смужечок різного кольору? Звичайно, дуже проста задача, її без помилок розв’яже навіть дошкільнятко. А тепер додамо смужечок і кольорів: задача суттєво ускладнюється.

Дослідимо розв’язування цієї задачі за допомогою двійкової системи числення (адже у нас всього два кольори, тож двох цифр вистачить для їх кодування). Одразу зауважу, що саме двійкова система числення використовуватиметься для представлення інформації у комп’ютерах. Тож такі задачі допоможуть надати знань і про системи числення, показати оригінальний спосіб їх використання.

Задача 12

У мене є чотири однакові за величиною стрічки: дві — червоного кольору і дві стрічки зеленого кольору. Допоможи мені скласти з них до свята якомога більше різних прапорців. Кожен прапорець складається з чотирьох стрічок.

Розфарбуй ці прапорці. Закресли “зайві” прапорці, якщо я намалював прапорців більше, ніж їх можна скласти.

Це завдання з комбінаторики. Спочатку діти мають розібратися в умові задачі, уявити, з яких саме стрічок складається кожен прапорець.

Кожен прапорець обов’язково складається з чотирьох стрічок (двох зелених і двох червоних), які розташовані вертикально одна біля одної. Необхідно знайти якомога більше різних варіантів розташування стрічок у прапорцях. Полічимо скільки різних прапорців можна побудувати.

Постановка проблеми цілком зрозуміла. Результатом дослідження буде малюнок з прапорцями, розфарбованими по-різному, кожен прапорець складатиметься з двох червоних і двох зелених стрічок. Скільки таких прапорців ми намалюємо можна полічити під час вирішення задачі.

Здається все ясно. В чому полягатиме дослідження? Діти вже мають досвід розв’язку завдань з комбінаторики. Їм відомо, що чим більше стрічок у кожному прапорці, чим більше кольорів стрічок, з яких ці прапорці складатимуться, тим важче впевнитись, що побудовано всі можливі варіанти прапорців. Тому варто не просто у довільному порядку складати якомога більше прапорців, а спробувати знайти спосіб впорядкувати перебір різних варіантів забарвлення прапорців. Так легше будувати всі можливі прапорці зі стрічок, не пропустивши жодного варіанта.

Уважно роздивимось стрічки. Якою може бути перша стрічка прапорця? Зеленою або червоною.

У нас залишилися дві стрічки одного кольору і одна стрічка іншого кольору. Ця одна стрічка може бути на першому, другому або третьому місцях серед трьох стрічок, які залишилися незафарбованими.

На вільні місця необхідно поставити дві стрічки, які залишилися, зеленого і червоного кольорів відповідно.

Таким чином, ми побудували шість різних прапорців, скориставшись першим способом впорядкування перебору варіантів. Висунута перша гіпотеза.

У цьому дослідженні я навмисне не узагальнюю знайдені правила впорядкування перебору варіантів. Адже тоді правила вийдуть громіздкими і незрозумілими. Використавши знайдені правила на практиці, діти інтуїтивно розуміють, як пристосувати їх до розв’язку інших задач про прапорці.

Спробуємо знайти інший спосіб впорядкування перебору варіантів (висунути другу гіпотезу). Одночасно і перевіримо розв’язок задачі.

Серед незафарбованих стрічок на першому місці може стояти зелена або червона стрічки. Далі правило перебору варіантів я намалювала.

Обидві гіпотези привели до одного й того самого результату. І це само по собі вже вказує на їх правильність. Можливо, діти знайдуть й інший спосіб перебору варіантів.

Перевіримо висунуті гіпотези іншим способом — використавши коди прапорців. 

За допомогою дії додавання в двійковій системі числення можна записати всі комбінації одиниць і нулів чотиризначних чисел. Кожен розряд числа — це червона або зелена стрічка прапорця. Отже, я виписала коди усіх прапорців із чотирьох стрічок, які можна побудувати із червоних і зелених стрічок. Але не всі коди прапорців відповідають умові задачі: кожний прапорець має складатися з двох стрічок червоного кольору і двох зелених стрічок. Наприклад, код «0000» не відповідає умові задачі: цей прапорець повинен складатися з чотирьох стрічок зеленого кольору, а за умовою задачі ми маємо тільки дві стрічки зеленого кольору. Закреслимо усі коди, які не відповідають умові задачі:

Ми знайшли всі варіанти розфарбування прапорців. Тепер нам залишилося тільки розфарбувати прапорці відповідно знайденим кодам.

Так, всі результати розв’язування збігаються, тобто кожна з висунутих гіпотез правильна. А яка ж з них краща? На це запитання важко дати однозначну відповідь. Комусь зручніше користуватися першим правилом перебору варіантів, іншим більше подобається друге правило, дехто придумав власне правило і користується тільки ним. Всі ці думки слушні. Головне, щоб кожне правило приводило до безпомилкового результату.

Якщо уважно проаналізувати правила, можна сказати наступне.

Перше правило досить ефективно і швидко діє, коли стрічок одного кольору більше, ніж іншого.

Друге правило універсальніше: воно більше підходить для випадків, коли різнобарвних стрічок багато, а також коли кольорів більше двох (для цього випадку перше правило зовсім не підходить).

Отож, на мою думку, важливо пильно придивитися до кожного із сформульованих правил і визначитись до яких випадків, яке правило підходить більше. Можливо, ми натрапили на дуже важку задачу і варто використати одразу кілька правил?

Також варто розв’язати одну й те саму задачу різними способами. Потім, порівнюючи розв’язки, легше знайти і виправити помилку. Якщо розв’язки співпадають, це ще раз підтвердить правильність знайденого рішення. Такий спосіб перевірки відповіді корисно використовувати під час розв’язку будь-яких задач (де це можливо).

У наступній статті розглянемо дослідження під час розв’язання задач про малювання фігур не відриваючи олівця від паперу (теорія графів для молодших школярів).

Ірина СТЕЦЕНКО,

науковий співробітник Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем Національної академії наук України

та Міністерства освіти і науки України,

автор технології «Логіки світу»

для дітей від 4 до 12 років

Дізнайтеся про що блог

Читайте роздуми щодо теми блогу

Автор: Ірина Стеценко